ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66872
УсловиеНатуральное число N кратно 2020. В его десятичной записи все цифры различны, причём если любые две из них поменять местами, получится число, не кратное 2020. При каком количестве цифр в десятичной записи числа N такое возможно? РешениеЕсли в числе седьмая цифра справа — это a, а третья справа — это b, то, меняя их местами, мы изменим число на b⋅106−a⋅106+a⋅102−b⋅102=(b−a)⋅(104−1)⋅100. Значит, при такой замене делимость на 2020=20⋅101 не испортится, поскольку 104−1 делится на 101, а 100 делится на 20. Поэтому больше 6 цифр в числе N быть не может Шесть цифр может быть. Например, подходит число 351480 (0 должен оставаться в конце, обмен 3 и 8 испортит делимость на 4, а обмен соседних цифр или цифр, стоящих через одну или через две, испортит делимость на 101, поскольку числа 10−1, 102−1 и 103−1 на 101 не делятся). Есть и другие примеры, скажем, 531260.
Пяти- или четырёхзначное число, кратное 2020, получается умножением 2020 на число 10a+b, меньшее 50. У числа 2020b вторая и четвёртая цифры равны, а у числа 20200a они равны нулю, поэтому у суммы эти цифры равны, что нас не устраивает.
Ответпри 6 цифрах. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке