Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66872
Тема:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Натуральное число N кратно 2020. В его десятичной записи все цифры различны, причём если любые две из них поменять местами, получится число, не кратное 2020. При каком количестве цифр в десятичной записи числа N такое возможно?

Решение

Если в числе седьмая цифра справа — это a, а третья справа — это b, то, меняя их местами, мы изменим число на b106a106+a102b102=(ba)(1041)100. Значит, при такой замене делимость на 2020=20101 не испортится, поскольку 1041 делится на 101, а 100 делится на 20. Поэтому больше 6 цифр в числе N быть не может

Шесть цифр может быть. Например, подходит число 351480 (0 должен оставаться в конце, обмен 3 и 8 испортит делимость на 4, а обмен соседних цифр или цифр, стоящих через одну или через две, испортит делимость на 101, поскольку числа 101, 1021 и 1031 на 101 не делятся). Есть и другие примеры, скажем, 531260.

Пяти- или четырёхзначное число, кратное 2020, получается умножением 2020 на число 10a+b, меньшее 50. У числа 2020b вторая и четвёртая цифры равны, а у числа 20200a они равны нулю, поэтому у суммы эти цифры равны, что нас не устраивает.

Ответ

при 6 цифрах.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 42
Дата 2020/21
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .