|
|
 |
Условие
Натуральное число $N$ кратно 2020. В его десятичной записи все цифры различны, причём если любые две из них поменять местами, получится число, не кратное 2020. При каком количестве цифр в десятичной записи числа $N$ такое возможно?Решение
Если в числе седьмая цифра справа — это $a$, а третья справа — это $b$, то, меняя их местами, мы изменим число на $b\cdot10^6-a\cdot10^6+a\cdot10^2-b\cdot10^2=(b-a)\cdot(10^4-1)\cdot100$. Значит, при такой замене делимость на $2020 = 20\cdot101$ не испортится, поскольку $10^4 - 1$ делится на 101, а 100 делится на 20. Поэтому больше 6 цифр в числе $N$ быть не может
Шесть цифр может быть. Например, подходит число 351480 (0 должен оставаться в конце, обмен 3 и 8 испортит делимость на 4, а обмен соседних цифр или цифр, стоящих через одну или через две, испортит делимость на 101, поскольку числа $10-1$, $10^2 - 1$ и $10^3 - 1$ на 101 не делятся). Есть и другие примеры, скажем, 531260.
Пяти- или четырёхзначное число, кратное 2020, получается умножением 2020 на число $10a + b$, меньшее 50. У числа $2020b$ вторая и четвёртая цифры равны, а у числа $20200a$ они равны нулю, поэтому у суммы эти цифры равны, что нас не устраивает.
