ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 66870  (#1)

Тема:   [ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Каждый из квадратных трёхчленов $P(x)$, $Q(x)$ и $P(x)+Q(x)$ с действительными коэффициентами имеет кратный корень. Обязательно ли все эти корни совпадают?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66871  (#2)

Тема:   [ Вписанный угол (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

На прямой отметили точки $X_1, \ldots, X_{10}$ (именно в таком порядке) и построили на отрезках $X_1X_2$, $X_2X_3$, ..., $X_9X_{10}$ как на основаниях равнобедренные треугольники с углом $\alpha$ при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром $X_1X_{10}$. Найдите $\alpha$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66872  (#3)

Тема:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,10,11

Натуральное число $N$ кратно 2020. В его десятичной записи все цифры различны, причём если любые две из них поменять местами, получится число, не кратное 2020. При каком количестве цифр в десятичной записи числа $N$ такое возможно?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66873  (#4)

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66874  (#5)

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Логика и теория множеств (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

По кругу лежит 101 монета, каждая весит 10 г или 11 г. Докажите, что найдётся монета, для которой суммарная масса $k$ монет слева от неё равна суммарной массе $k$ монет справа от неё, если
а) k=50;
б) k=49.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .