Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66874
Темы:    [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Логика и теория множеств (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По кругу лежит 101 монета, каждая весит 10 г или 11 г. Докажите, что найдётся монета, для которой суммарная масса k монет слева от неё равна суммарной массе k монет справа от неё, если
а) k=50;
б) k=49.

Решение

Решим сразу оба пункта. Пусть k — любое из чисел 49 или 50. Раскрасим монеты в чёрный и белый цвета (10 г — одним цветом, 11 г — другим). Монет какого-то цвета, скажем, белых, будет нечётное количество, пусть 2m+1. Надо доказать, что среди k монет справа и k монет слева от какой-то монеты будет поровну белых.

Предположим противное. Тогда m>0, иначе единственная белая монета — искомая. Назовём белую монету правой, если среди k монет справа от неё белых больше, чем среди k монет слева от неё, в противном случае — левой. Так как белых монет 2m+1, правых и левых монет будет не поровну, пусть правых больше.

Пусть A — правая монета, а B — m-я справа от A белая монета (то есть на дуге, идущей вправо от A к B, белых монет между A и B ровно m1).

Если бы среди k монет справа от A не было B, то среди них было бы не более m1 белой монеты. Так как k49, то вместе среди k монет слева от A и k монет справа от A хотя бы 2m2 белые монеты, поэтому среди k монет слева от A было бы тогда не менее m1 белой, то есть не меньше, чем справа, что противоречит тому что A — правая.

Значит среди k монет справа от A есть B, но тогда среди k монет слева от B встречаются все белые монеты, лежащие на дуге, идущей вправо от A к B, и сама монета A, то есть среди них встречается не менее m монет. Так как k50, то вместе среди k монет слева от B и k монет справа от B не более 2m белых, поэтому среди k монет справа от B не более m белых, то есть не больше, чем слева. Значит, монета B — левая.

Итак, для всякой правой монеты m-я справа от неё белая монета — левая. Значит, левых не меньше, чем правых, противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 42
Дата 2020/21
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .