|
|
 |
Условие
По кругу лежит 101 монета, каждая весит 10 г или 11 г. Докажите, что найдётся монета, для которой суммарная масса k монет слева от неё равна суммарной массе k монет справа от неё, если
а) k=50;
б) k=49.
Решение
Решим сразу оба пункта. Пусть k — любое из чисел 49 или 50. Раскрасим монеты в чёрный и белый цвета (10 г — одним цветом, 11 г — другим). Монет какого-то цвета, скажем, белых, будет нечётное количество, пусть 2m+1. Надо доказать, что среди k монет справа и k монет слева от какой-то монеты будет поровну белых.
Предположим противное. Тогда m>0, иначе единственная белая монета — искомая. Назовём белую монету правой, если среди k монет справа от неё белых больше, чем среди k монет слева от неё, в противном случае — левой. Так как белых монет 2m+1, правых и левых монет будет не поровну, пусть правых больше.
Пусть A — правая монета, а B — m-я справа от A белая монета (то есть на дуге, идущей вправо от A к B, белых монет между A и B ровно m−1).
Если бы среди k монет справа от A не было B, то среди них было бы не более m−1 белой монеты. Так как k≥49, то вместе среди k монет слева от A и k монет справа от A хотя бы 2m−2 белые монеты, поэтому среди k монет слева от A было бы тогда не менее m−1 белой, то есть не меньше, чем справа, что противоречит тому что A — правая.
Значит среди k монет справа от A есть B, но тогда среди k монет слева от B встречаются все белые монеты, лежащие на дуге, идущей вправо от A к B, и сама монета A, то есть среди них встречается не менее m монет. Так как k≤50, то вместе среди k монет слева от B и k монет справа от B не более 2m белых, поэтому среди k монет справа от B не более m белых, то есть не больше, чем слева. Значит, монета B — левая.
Итак, для всякой правой монеты m-я справа от неё белая монета — левая. Значит, левых не меньше, чем правых, противоречие.
