Задача 66873

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?

Решение

Пусть $a\leqslant b\leqslant c$ — длины сторон треугольника. Тогда стороны разделятся на такие части:

$$a =\frac{ab}{b+c} + \frac{ac}{b+c}, \quad b = \frac{ba}{a+c} +\frac{bc}{a+c}, \quad c=\frac{ca}{a+b}+\frac{cb}{a+b}.$$

Из отрезков, составляющих $c$, первый меньше $a$, а второй меньше $b$ (так как $\frac{c}{a+b}<1$).

Тогда возьмём в первую тройку отрезки $\frac{ab}{b+c}$, $\frac{ac}{b+c}$ составляющие $a$, и отрезок $\frac{ca}{a+b}$. Последний из них наибольший (его знаменатель не больше, а числитель не меньше, чем у других), но меньше $a$.

Во вторую тройку возьмём отрезки $\frac{ba}{a+c}$ и $\frac{bc}{a+c}$, составляющие $b$, и отрезок $\frac{cb}{a+b}$. Последний из них наибольший (аналогично), но меньше $b$.

Возможны и другие способы разбить отрезки на две тройки.

Ответ

обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	42
Дата	2020/21
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4