Задача 66876
|
|
 |
Условие
Назовём пару различных натуральных чисел удачной, если их среднее арифметическое (полусумма) и среднее геометрическое (квадратный корень из произведения) — натуральные числа. Верно ли, что для каждой удачной пары найдётся другая удачная пара с тем же средним арифметическим? (Пояснение: пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются одинаковыми.)Решение
Пусть среднее арифметическое удачной пары равно натуральному числу $m$. Тогда числа из этой пары — одной чётности, и их можно представить в виде $m+n$ и $m-n$, где $n$ тоже натуральное. Так как среднее геометрическое чисел пары — натуральное число, их произведение — полный квадрат: $m^2-n^2=k^2$, где $k$ натуральное. Тогда $m^2-k^2=n^2$, откуда $m+k$ и $m-k$ — удачная пара с тем же средним арифметическим, причём $k\ne n$ (иначе $m^2=2n^2$, что невозможно в силу иррациональноcти $\sqrt2$).
Замечание. Если числа исходной пары — это $a,b$, то числа новой пары имеют вид $\frac{a+b}{2}\pm \sqrt{ab}$.
