ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 66875  (#1)

Тема:   [ Окружности (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66876  (#2)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Назовём пару различных натуральных чисел удачной, если их среднее арифметическое (полусумма) и среднее геометрическое (квадратный корень из произведения) — натуральные числа. Верно ли, что для каждой удачной пары найдётся другая удачная пара с тем же средним арифметическим? (Пояснение: пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются одинаковыми.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 66877  (#3)

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Петя и Вася играют в такую игру. Каждым ходом Петя называет какое-то целое число, а Вася записывает на доску либо названное число, либо сумму этого числа и всех ранее написанных чисел. Всегда ли Петя сможет добиться того, чтобы в какой-то момент на доске среди написанных чисел было
а) хотя бы сто чисел 5;
б) хотя бы сто чисел 10?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66878  (#4)

Темы:   [ Разрезания (прочее) ]
[ Упаковки ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Пентамино «крест» состоит из пяти квадратиков $1\times1$ (четыре квадратика примыкают по стороне к пятому). Можно ли из шахматной доски $8\times8$ вырезать, не обязательно по клеткам, девять таких крестов?

Прислать комментарий     Решение


Задача 66879  (#5)

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных?
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .