Задача 66878
|
|
 |
Условие
Пентамино «крест» состоит из пяти квадратиков $1\times1$ (четыре квадратика примыкают по стороне к пятому). Можно ли из шахматной доски $8\times8$ вырезать, не обязательно по клеткам, девять таких крестов?Решение
Расположим 9 крестов, как на рисунке, и опишем вокруг них квадрат. Этот квадрат состоит из девяти крестов (их суммарная площадь равна 45), восьми половинок прямоугольников $1\times2$ (их суммарная площадь равна 8) и четырёх «уголков». Каждый уголок целиком лежит в фигуре, состоящей из половинки прямоугольника $1\times2$ и половинки клетки, то есть его площадь не больше 1,5, откуда все уголки суммарно имеют площадь не больше 6. Тогда площадь квадрата не больше $45+8+6=59$, что меньше 64. Значит, сторона квадрата меньше 8, и его можно уместить на шахматную доску — а с ним и 9 крестов.Несложно найти и точную длину стороны нашего квадрата — это $\frac{17}{\sqrt{5}}$.
