Задача 66879
|
|
 |
Условие
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных?Решение
Первое решение. Заметим, что $3^3+4^3+5^3=6^3$ (проверьте!). Домножив это равенство на $2^3$, получим: $6^3+8^3+10^3=12^3$. Заменяя $6^3$ на сумму из предыдущего равенства, получаем пять кубов, дающих в сумме куб: $3^3+4^3+5^3+8^3+10^3=12^3$. Домножив новое равенство на $2^3$ и снова заменяя $6^3$ на сумму трёх кубов, получаем 7 кубов, дающих в сумме куб: $$ 3^3+4^3+5^3+8^3+10^3+16^3+20^3=24^3. $$Действуя далее аналогично, мы сможем получить и 99 кубов, дающих в сумме куб, что и требуется в задаче.
Второе решение.
Воспользуемся формулой $1^3+2^3+\ldots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$.
Заметим, что $$11^3+12^3+\ldots+109^3 = (1^3+2^3+\ldots+109^3)-(1^3+2^3+\ldots+10^3) =\left(\frac{109\cdot110}2\right)^2-\left(\frac{10\cdot11}2\right)^2 =$$ $$=\frac{109^2\cdot110^2-110^2}4 = 110^2\cdot\frac{109^2-1}4 = 110^2\cdot\frac{110\cdot108}4 = 110^3\cdot27 = 330^3.$$
