ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66901
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Треугольник $ABC$ равносторонний. На сторонах $AB$ и $AC$ выбрали точки $E$ и $F$, а на продолжении стороны $AB$ – точку $K$ так, что $AE=CF=BK$. Точка $P$ – середина $EF$. Докажите, что угол $KPC$ прямой.

Решение 1

На продолжении отрезка $CP$ за точку $P$ отметим такую точку $T$, что $CP=PT$. Тогда $FCET$ – параллелограмм, откуда $TE$ равно и параллельно $FC$. Но тогда треугольники $TEK$ и $KBC$ равны по первому признаку: тупые углы у них равны $120^\circ$ и соответствующие стороны при этих углах равны. Следовательно, треугольник $TKC$ равнобедренный и его медиана $KP$ является высотой.


Решение 2

Построим равносторонний треугольник $AKL$. Ясно, что $PC$ – средняя линия треугольника $EFL$. Треугольники $EKL$ и $CAK$ равны ($KL = AK$, $EK = AC$, $\angle EKL = \angle CAK$). Значит, $CK = EL = 2PC$. Треугольники $EAL$ и $CLK$ также равны, поэтому $\angle ELA = \angle CKL$. Следовательно, $KCP = 60^\circ - \angle PCA + \angle BCK = 60^\circ - \angle ELA + \angle CKL = 60^\circ$ (мы использовали, что $PC\parallel EL$ и $BC\parallel KL$). Но тогда $KPC$ – половина равностороннего треугольника, откуда угол $KPC$ прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 42
Дата 2020/21
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .