Задача 66907

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Соколов А.

Существует ли такое натуральное $n$, что для любых вещественных чисел $x$ и $y$ найдутся вещественные числа $a_1, \ldots, a_n$, удовлетворяющие равенствам $$x = a_1 + \ldots + a_n\quad \text{и} \quad y = \frac{1}{a_1}+ \ldots + \frac{1}{a_n}?$$

Решение 1

Докажем, что подходит $n=6$. Предварительно заметим, что любую пару $(0,y)$ с ненулевым $y$ можно получить так: $0=\frac3{2y}+\frac3{2y}-\frac3y$, $y=\frac{2y}3+\frac{2y}3-\frac{y}3$. Аналогично можно получить любую пару $(x,0)$ с ненулевым $x$. Тогда любую пару $(x,y)$ с отличными от нуля $x$ и $y$ можно получить как «сумму» двух рассмотренных выше пар. Пару $(x, 0)$ можно получить как сумму двух пар $(\frac{x}2, 0)$, аналогично можно получить пару $(0,y)$, а пару $(0,0)$ – как $1+1+1-1-1-1$.

Решение 2

Докажем, что подходит $n=4$. Заметим, что если мы зафиксируем положительное число $k$ и рассмотрим все возможные пары положительных чисел $a$, $b$ с суммой $k$, то множество значений выражения $\frac1a+\frac1b$ – это луч $[\frac4k;+\infty)$ (проверьте это, записав сумму в виде $\frac1a+\frac1{k-a}=\frac{k}{a(k-a)}$).

Тогда для данных $x$ и $y$ выберем положительные суммы $a+b$ и $c+d$ так, что $a+b-c-d=x$ (сами числа $a$, $b$, $c$, $d$ пока не фиксируем).

Поскольку выражения $\frac1a+\frac1b$ и $\frac1c+\frac1d$, по сказанному выше, принимают все достаточно большие значения, можно подобрать положительные $a$, $b$, $c$, $d$ так, чтобы разность этих выражений равнялась $y$.

Ответ

Существует.

Замечания

Можно доказать, что $n=1$, $n=2$ и $n=3$ не подходят.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	42
Дата	2020/21
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2