Задача 66907
|
|
 |
Условие
Существует ли такое натуральное $n$, что для любых вещественных чисел $x$ и $y$ найдутся вещественные числа $a_1, \ldots, a_n$, удовлетворяющие равенствам $$x = a_1 + \ldots + a_n\quad \text{и} \quad y = \frac{1}{a_1}+ \ldots + \frac{1}{a_n}?$$Решение 1
Докажем, что подходит $n=6$. Предварительно заметим, что любую пару $(0,y)$ с ненулевым $y$ можно получить так: $0=\frac3{2y}+\frac3{2y}-\frac3y$, $y=\frac{2y}3+\frac{2y}3-\frac{y}3$. Аналогично можно получить любую пару $(x,0)$ с ненулевым $x$. Тогда любую пару $(x,y)$ с отличными от нуля $x$ и $y$ можно получить как «сумму» двух рассмотренных выше пар. Пару $(x, 0)$ можно получить как сумму двух пар $(\frac{x}2, 0)$, аналогично можно получить пару $(0,y)$, а пару $(0,0)$ – как $1+1+1-1-1-1$.Решение 2
Докажем, что подходит $n=4$. Заметим, что если мы зафиксируем положительное число $k$ и рассмотрим все возможные пары положительных чисел $a$, $b$ с суммой $k$, то множество значений выражения $\frac1a+\frac1b$ – это луч $[\frac4k;+\infty)$ (проверьте это, записав сумму в виде $\frac1a+\frac1{k-a}=\frac{k}{a(k-a)}$).
Тогда для данных $x$ и $y$ выберем положительные суммы $a+b$ и $c+d$ так, что $a+b-c-d=x$ (сами числа $a$, $b$, $c$, $d$ пока не фиксируем).
Поскольку выражения $\frac1a+\frac1b$ и $\frac1c+\frac1d$, по сказанному выше, принимают все достаточно большие значения, можно подобрать положительные $a$, $b$, $c$, $d$ так, чтобы разность этих выражений равнялась $y$.
