Задача 66915

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, вне треугольника взята точка $D$, так что $\angle ADC=\angle BAC$ и отрезок $CD$ пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$. Известно, что расстояние от точки $E$ до катета $AC$ равно радиусу описанной окружности треугольника $ADE$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Решение

По теореме синусов радиус описанной окружности треугольника $ADE$ равен $AE/2\sin\angle ADE$. С другой стороны, расстояние от $E$ до $AC$ равно $AE\sin\angle BAC$. Тогда из условия задачи следует, что $2\sin^2\angle A=1$, т.е. $\angle A=45^{\circ}$.

Ответ

$\angle A=\angle B=45^{\circ}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2020
Заочный тур
задача
Номер	3 [8 кл]