Дан куб с ребром 2. Покажите, как наклеить на него без наложений 10 квадратов со стороной 1 так, чтобы никакие квадраты не граничили по отрезку (по стороне или её части). Перегибать квадраты нельзя.

   Решение

В некоторых клетках квадрата 20×20 стоит стрелочка в одном из четырёх направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (см. рис.). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направлениях. Докажите, что найдётся клетка, в которой стрелочки нет.

   Решение

Темы:    [ Изогональное сопряжение ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$, $CC_1$ и диаметр $AD$ описанной окружности. Прямые $BB_1$ и $DC_1$ пересекаются в точке $E$, а прямые $CC_1$ и $DB_1$ – в точке $F$. Докажите, что $\angle CAE=\angle BAF$.

Решение

Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$. Тогда прямые $AH$ и $AD$ являются изогоналями относительно угла $B_1AC_1$. По теореме об изогоналях прямые $AE$ и $AF$ также являются изогоналями.

Источники и прецеденты использования