Условие
Докажите, что точки пересечения средних линий треугольника $ABC$ со сторонами треугольника, вершинами которого являются центры вневписанных окружностей, лежат на одной окружности.
Решение
Пусть $A_b$ – проекция $A$ на внешнюю биссектрису угла $B$, аналогично определим точки $A_c$, $B_c$, $B_a$, $C_a$, $C_b$.
Известно. что $A_bA_c$ – средняя линия треугольника $ABC$. Следовательно, надо доказать вписанность шестиугольника $A_bC_bB_cA_cC_aB_a$.
Пусть $I_a$, $I_b$, $I_c$ – центры вневписанных окружностей треугольника $ABC$. Тогда четырехугольники $AA_bI_aA_c$ и $BCB_cC_b$ – вписанные. Поэтому $\angle A_cA_bI_a=\angle A_cAI_a=(\pi-\angle B)/2=\angle CBI_a=\angle C_bB_cI_a$, т.е. четырехугольник $A_bA_cB_cC_b$ вписанный. При этом серединные перпендикуляры к $A_cB_c$ и $A_bC_b$ проходят через середины сторон $AB$, $AC$ соответственно и параллельны биссектрисам углов $C$, $B$ соответственно. Значит центром окружности $A_bA_cB_cC_b$ является центр вписанной окружности серединного треугольника. Отсюда получаем, что точки $B_a$, $C_a$ лежат на этой же окружности.
Источники и прецеденты использования
