Условие
Дана замкнутая ломаная $A_1A_2\dots A_n$ и окружность $\omega$,
которая касается каждой из прямых $A_1A_2, A_2A_3,\dots, A_nA_1$. Звено ломаной называется
хорошим, если оно касается окружности, и
плохим в противном случае (т.е. если продолжение этого звена касается окружности). Докажите, что плохих звеньев четное количество.
Решение
Пусть $O$ – центр окружности, а $T_i$ – точка ее касания с прямой $A_iA_{i + 1}$ (считаем, что $A_{n +1}$ совпадает с $A_1$.) Назовем треугольник $ABC$ положительно ориентированным, если вершины $A$, $B$, $C$ идут против часовой стрелки, и отрицательно ориентированным в противном случае.
Заметим, что треугольники $OA_iT_i$ и $OA_{i + 1}T_i$ ориентированы одинаково тогда и только тогда, когда звено $A_iA_{i + 1}$ плохое. С другой стороны, треугольники $OA_{i + 1}T_i$ и $OA_{i + 1}T_{i + 1}$ всегда ориентированы по-разному. Следовательно, звено $A_iA_{i + 1}$ плохое тогда и только тогда, когда треугольники $OA_iT_i$ и $OA_{i + 1}T_{i + 1}$ ориентированы по-разному. Значит, число плохих звеньев равно числу перемен ориентации в последовательности треугольников $OA_1T_1, OA_2T_2, \ldots, OA_nT_n$, которое, очевидно, четно.
Источники и прецеденты использования
