Задача 66928

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Рябов П.

В треугольнике $ABC$ чевианы $AP$ и $AQ$ симметричны относительно биссектрисы. Точки $X$, $Y$ – проекции $B$ на $AP$ и $AQ$ соответственно, а точки $N$ и $M$ – проекции $C$ на $AP$ и $AQ$ соответственно. Докажите, что $XM$ и $NY$ пересекаются на $BC$.

Решение

Заметим, что точки $M$, $N$, $X$ и $Y$ лежат на одной окружности $\Omega$. Действительно, из подобия треугольников $ABX$ и $ACM$ следует, что $AX:AM=AB:AC$. Аналогично, $AN:AY=AC:AB$. Значит, $AX\cdot AN=AY\cdot AM$. При этом, поскольку серединные перпендикуляры к $XN$ и $YM$ проходят через середину $T$ стороны $BC$, то $T$ – центр $\Omega$.

Пусть $AH$ – высота треугольника, а $Z$ – точка пересечения прямых $MN$ и $XY$. Тогда $Z$ лежит на $AH$, потому что $AH$, $MN$ и $XY$ – радикальные оси окружностей $\Omega$, $ABXY$ и $ACMN$.

Наконец, пусть $MX$ и $NY$ пересекаются в точке $W$. Тогда $W$ – полюс прямой $AZ$ относительно окружности $XMYN$, следовательно, $AZ\perp TW$, т.е. $W$ лежит на $BC$.

Замечания

Когда задания олимпиады были опубликованы, выяснилось, что задача была независимо предложена на Балканской олимпиаде.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2020
Заочный тур
задача
Номер	16 [9-11 кл]