ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66931
Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В четырехугольнике $ABCD$ $AB\perp CD$ и $AD\perp BC$. Докажите, что существует точка, расстояния от которой до прямых, содержащих стороны четырехугольника, пропорциональны этим сторонам.

Решение

Из условия следует, что высоты $AA'$ и $CC'$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D$. Отразим медиану треугольника $ABC$, проведенную из вершины $B$, относительно его биссектрисы из той же вершины и найдем точку пересечения $L$ полученной прямой с $A'C'$. Так как точки $A$, $C$, $A'$, $C'$ лежат на окружности с диаметром $AC$, $\angle LA'C=\angle DAC=\pi/2-\angle BCA$. Поэтому отношение расстояний от $L$ до $AB$ и $CD$ равно $\frac{\sin\angle LA'B}{\sin\angle LA'C}= \operatorname{tg}\angle BCA$. Но $AB = 2R \sin \angle BCA$, $CD = 2R \cos\angle BCA$, где $R$ – радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Следовательно, расстояния от $L$ до сторон $AB$ и $CD$ пропорциональны этим сторонам. Аналогично получаем искомую пропорциональность для сторон $AD$ и $BC$. Кроме того, так как $L$ лежит на прямой, симметричной медиане треугольника относительно его биссектрисы, расстояния от $L$ до $AB$ и $BC$ также пропорциональны этим сторонам, т.е. $L$ – искомая точка.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2020
Заочный тур
задача
Номер 19 [10-11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .