Условие
Дан квадрат $ABCD$ с центром $O$. Из точки $P$, лежащей на меньшей дуге $CD$ описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону $CD$ в точках $M$ и $N$. Прямые $PM$ и $PN$ пересекают отрезки $BC$ и $AD$ соответственно в точках $Q$ и $R$. Докажите, что медиана треугольника $OMN$ из вершины $O$ перпендикулярна отрезку $QR$ и равна его половине.
Решение
Прямые $PR$ и $PQ$ содержат стороны квадрата, имеющего те же описанную и вписанную окружности, что и $ABCD$. Поэтому при повороте на $90^{\circ}$ вокруг $O$ точки $M$ и $Q$ переходят в $R$ и $N$ соответственно, т.е. $OM=OP$, $ON=OQ$ и $\angle POM=\angle NOQ=90^{\circ}$. Тогда, если $S$ – вершина параллелограмма $MONS$, то треугольник $OMS$ равен треугольнику $POQ$, причем их соответственные стороны перпендикулярны.
Замечания
Нетрудно также заметить, что $\angle RON=\angle NOM=\angle MOQ=45^{\circ}$.
Источники и прецеденты использования
