|
|
 |
Условие
На плоскости отмечено пять точек. Найдите наибольшее возможное число подобных треугольников с вершинами в этих точках.Решение
Пример. Вершины и центр квадрата.
Оценка. Опишем все конфигурации четырех точек, образующих четыре подобных треугольника. Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ – такие четыре точки. Рассмотрим два случая.
1. Точка $A$ лежит внутри треугольника $BCD$. Пусть $B$ – наибольший угол треугольника $BCD$. Тогда угол $CAD$ больше любого из углов треугольника $BCD$, так что треугольники $ACD$ и $BCD$ не могут быть подобны.
2. Пусть $ABCD$ – выпуклый четырехугольник. Рассмотрим два подслучая.
2.1. Диагональ $AC$ делит угол $BAD$ пополам, и аналогичное свойство верно для углов $B$, $C$, $D$. Тогда $ABCD$ – ромб, а, так как треугольники $ABC$ и $BCD$ подобны, то $ABCD$ – квадрат.
2.2. Найдется вершина, для которой диагональ не является биссектрисой, пусть это вершина $A$. Тогда углы $BAC$, $CAD$ и $BAD$ попарно различны. Значит, они являются тремя углами каждого из четырех подобных треугольников, т.е. их сумма равна $180^{\circ}$ и $\angle BAD=90^{\circ}$.
Среди углов, образованных данными точками, четыре прямых и восемь острых. Углы $ABD$, $CBD$ и т.д. не могут быть прямыми, поскольку тогда один из углов четырехугольника будет тупым. Значит прямыми являются углы $BAD$, $ABC$, $BCD$ и $ADC$.
Таким образом, в обоих подслучаях $ABCD$ – прямоугольник.
Вернемся к задаче. Назовем плохим треугольник, образованный какими-то тремя из данных точек и не входящий в число подобных. (В частности, плохой треугольник образуют три точки, лежащие на одной прямой). Покажем, что найдутся хотя бы два плохих треугольника.
Заметим, что пять точек могут образовать не больше одного прямоугольника. Как показано выше, каждая из остальных четверок содержит хотя бы один плохой треугольник. При этом каждый плохой треугольник задается двумя четверками, так что общее количество плохих треугольников не меньше 4/2 = 2.
Ответ
$8$.Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2021 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 5 [8-9 кл] |
