При каких $n$ можно замостить плоскость равными фигурами, ограниченными $n$ дугами окружностей?

   Решение

Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел a₁, a₂, ..., a₂₀₁₇ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) a₁ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – a₂ камней, ..., наконец, в оставшуюся коробку – a₂₀₁₇ камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 43 хода, но нельзя – за меньшее ненулевое число ходов?

   Решение

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$. Рассмотрим все окружности $\omega$, касающиеся $\Gamma_1$ и $l$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$.

   Решение

Темы:    [ ГМТ (прочее) ] [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия (ГМТ) ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$. Рассмотрим все окружности $\omega$, касающиеся $\Gamma_1$ и $l$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$.

Решение

Если окружность касается $\Gamma_1$ и $l$ в точке $A$, то точка пересечения внутренних касательных, очевидно, лежит на интервале $AB$, причем любая точка интервала может быть получена таким образом.

Пусть $\omega$ касается $l$ в отличной от $A$ точке $P$, $r$, $r_1$, $r_3$ – радиусы $\omega$, $\Gamma_1$, $\Gamma_3$. Тогда $AP=2\sqrt{rr_1}$, $AB=2\sqrt{r_1r_3}$.

Центр внутренней гомотетии $\omega$ и $\Gamma_3$ лежит на отрезке $PB$. Пусть $H$ – проекция $A$ на этот отрезок. Тогда $PH:BH=PA^2:AB^2=r:r_3$. Следовательно, $H$ является искомой точкой пересечения внутренних касательных. Очевидно, что $H$ лежит на $\Gamma_2$ и любая точка этой окружности, отличная от $A$ и $B$, может быть получена таким образом.

Ответ

Окружность $\Gamma_2$ и отрезок $AB$ без самих точек $A$ и $B$.

Источники и прецеденты использования