Условие
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведен луч $l$ из вершины $B$. На луче внутри треугольника взяты точки $P$ и $Q$ так, что $\angle BAP=\angle QCA$. Докажите, что $\angle PAQ=\angle PCQ$.
Решение
Пусть $R$ – точка, изогонально сопряженная $P$ относительно треугольника $ABC$, а точка $Q'$ симметрична $R$ относительно оси симметрии $ABC$. Тогда $\angle ABQ'=\angle CBR=\angle ABP=\angle ABQ$ и $\angle ACQ'=\angle CAR=\angle BAP=\angle ACQ$. Следовательно, точки $Q$ и $Q'$ совпадают и $\angle CAQ=\angle ACR=\angle BCP$ (см. рис.). Значит (мы рассматриваем случай, когда точки $B$, $P$, $Q$ лежат на луче $l$ именно в таком порядке, другой случай аналогичен),
$$\angle PAQ=\angle A-\angle BAP-\angle CAQ =\angle C-\angle ACQ-\angle BCP=\angle PCQ.$$
Источники и прецеденты использования
