Задача 66946

Темы:    [ Преобразования плоскости (прочее) ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)

Решение 1

Пусть $ABC$ – данный треугольник, $K$, $L$, $M$ – середины $BC$, $CA$, $AB$ соответственно.

Пусть $\ell$ – одна из данных прямых. Если $\ell$ не пересекает внутренность треугольника $ABC$, утверждение задачи очевидно. Поэтому будем считать, что $\ell$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $P'$ и $Q'$ – такие точки, что $M$ и $L$ – середины отрезков $PP'$ и $QQ'$ соответственно. Тогда прямой, изотомически сопряженной с $\ell$ будет прямая $P'Q'$, обозначим ее через $\ell'$.

Если $P$ и $Q$ лежат на отрезках $AM$ и $AL$ соответственно, то $\ell$ не пересекает внутренность треугольника $KLM$ и утверждение задачи верно. Аналогично, если $P$ и $Q$ лежат на отрезках $BM$ и $CL$ соответственно, то $\ell'$ не пересекает внутренность треугольника $KLM$.

Будем считать, что $P$ лежит на отрезке $AM$, а $Q$ на отрезке $CL$. Тогда $P'$ лежит на отрезке $BM$, а $Q'$ на отрезке $AL$. Докажем, что в этом случае $\ell$ и $\ell'$ пересекаются внутри треугольника $ALM$.

Пусть $\ell$ и $\ell'$ пересекают отрезок $LM$ в точках $X$ и $Y$ соответственно (см. рис.). Достаточно доказать, что точки $L$, $X$, $Y$ и $M$ лежат на прямой $LM$ именно в таком порядке.

Применяя к треугольнику $ALM$ и прямой $\ell$ теорему Менелая, получаем $LX:XM=(LQ:QA)\cdot (AP:PM)$. Аналогично получаем $LY:YM=(LQ':Q'A)\cdot (AP':P'M)=(LQ:Q'A)\cdot (AP':PM)$. Так как $QA > Q'A$ и $AP < A'P$, то $LX:XM < LY:YM$.

Решение 2

Предположим, что точка $S$ пересечения прямых лежит внутри серединного треугольника. Тогда существует аффинное преобразование, переводящее точки $A$, $B$, $C$, $S$ в $A'$, $B'$, $C'$ и центр описанной окружности треугольника $A'B'C'$. Изотомические прямые при этом преобразовании останутся изотомическими и, значит, будут симметричными относительно серединного перпендикуляра к любой из сторон треугольника, что, очевидно, невозможно.

Примечание. Из этого рассуждения следует, что точка пересечения изотомических прямых не может лежать не только внутри серединного треугольника, но и внутри трех углов, вертикальных с его углами.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
Заочный тур
задача
Номер	10 [8-9 кл]