Задача 66947

Темы:    [ Построения (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Во вписанном пятиугольнике отметили середины четырех сторон, после чего сам пятиугольник стерли. Восстановите его.

Решение

Пусть $K$, $L$, $M$, $N$ – известные середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ пятиугольника $ABCDE$, вписанного в окружность $\Omega$. Построим параллелограммы $NMLP$ и $KLMQ$. Треугольники $KLP$ и $ACE$ гомотетичны с центром $B$ и коэффициентом $1/2$, следовательно, диаметром описанной окружности треугольника $KLP$ будет отрезок $BO$, где $O$ – центр $\Omega$. Аналогично получаем, что $O$ лежит на окружности $MNQ$. Таким образом, мы можем построить точку $O$, затем вершину $B$ и, наконец, весь пятиугольник.

Замечания

Окружности $KLP$ и $MNQ$ пересекаются в двух точках, по каждой из которых можно построить пятиугольник. Если оба построенных пятиугольника выпуклые, задача имеет два решения. В противном случае искомый пятиугольник восстанавливается однозначно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
Заочный тур
задача
Номер	11 [8-9 кл]