В угол вписаны две окружности; у них есть общая внутренняя касательная T₁T₂ (T₁ и T₂ — точки касания), которая пересекает стороны угла в точках A₁ и A₂. Докажите, что A₁T₁ = A₂T₂ (или, что эквивалентно, A₁T₂ = A₂T₁).

   Решение

В окружности с центром O проведены параллельные хорды PQ и RS, диаметр SE и хорда RE. Хорда RE пересекает хорду PQ в точке F, из точки F опущен перпендикуляр FH на SE. Известно, что радиус окружности равен r, а  EH = ^3r/₈.  Найдите расстояние от середины отрезка EO до середины хорды RQ.

   Решение

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Изогональное сопряжение ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.

Решение

Пусть $\omega$ – полувписанная окружность, противоположная $A$ (т.е. окружность, касающаяся сторон $AB$, $AC$ и окружности $\Omega$). Обозначим точку касания $\omega$ и $\Omega$ через $T$. Известны следующие свойства полувписанных окружностей:

1. Лучи $AE$ и $AT$ изогональны относительно угла $A$.

2. Точки $M$, $I$, и $T$ лежат на одной прямой.

Из этих свойств легко получить утверждение задачи. Действительно, прямая $AE$ вторично пересекает $\Omega$ в точке $X$. По свойству 1 прямые $BC$ и $TX$ параллельны. Поэтому прямые $IQ$ и $TX$ также параллельны. По свойству 2 получаем, что $\angle MNQ=\angle MIQ=\angle MTX=\angle MNX$. Следовательно, $X$ лежит на $NQ$.

Источники и прецеденты использования