ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66953
Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Радикальная ось ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки $A_0$ и $C_0$ – середины меньших дуг соответственно $BC$ и $AB$ его описанной окружности. Окружность, проходящая через $A_0$ и $C_0$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $S$, $Q$ и $R$ соответственно (все эти точки различны). Известно, что $PQ\parallel AC$. Докажите, что $A_0P+C_0S=C_0Q+A_0R$

Решение

Будем считать, что $AB\not=BC$ (в противном случае утверждение задачи очевидно). Касательная $t$ к окружности $ABC$ в точке $B$ касается также окружности $BPQ$. Поэтому прямые $A_0C_0$, $PQ$ и $t$ пересекаются в одной точке – радикальном центре $X$ окружностей $ABC$, $BPQ$ и $PQRS$. Кроме того, $A_0C_0$ образует равные углы с $AC$ и $t$, т.е. является биссектрисой угла $BXP$. А поскольку центр $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$ симметричен $B$ относительно $A_0C_0$, то $I$ лежит на $PQ$. При этом $IQ=QC$, $IA_0=A_0C$ и, значит, прямая $A_0Q$ проходит через середину $B_0$ дуги $AC$. Аналогично получаем, что $C_0P$ проходит через $B_0$.

Теперь имеем $\angle RA_0P=\angle RQP=\angle C$, $\angle PRA_0=\angle PC_0A_0=(\pi-\angle C)/2$. Следовательно, $A_0P=A_0R$. Аналогично, $C_0Q=C_0S$, что и доказывает утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
Заочный тур
задача
Номер 17 [9-11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .