Задача 66957

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Четырехугольники (построения) ] [ Построения одной линейкой ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Ратаров Д.

В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. От трапеции остались: вершина $A$, центр вписанной окружности $I$, описанная окружность $\omega$ и ее центр $O$. Восстановите трапецию с помощью одной лишь линейки.

Решение

Продлим $AO$ до пересечения с окружностью $\omega$ в точке $M$. Пусть так же луч $AI$ пересекает окружность $\omega$ в точке $M'$. Продлим $M'O$ до пересечения с окружностью $\omega$ в точке $M''$. Углы $AM'M$ и $M'AM''$ прямые, поскольку опираются на диаметры $AM$ и $M'M''$ соответственно, т.е. прямые $AM''$ и $MM'$ перпендикулярны прямой $AM$' и, следовательно, параллельны. Имея две параллельные прямые, с помощью одной лишь линейки мы можем провести прямую, параллельную двум другим, через точку $I$. Очевидно, проведенная прямая пересечет окружность $\omega$ в вершине $B$, поскольку $\angle AIB=\pi/2$ ($AI$ и $BI$ – биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно). Проведем прямую $j$ через точки $O$ и $I$. С помощью одной лишь линейки мы можем построить две прямые, которые будут перпендикулярны диаметру, совпадающему с прямой $j$ (известный факт). Затем через $A$ и $B$ проводим прямые, параллельные двум проведенным. В пересечении получим недостающие вершины $D$ и $C$ соответственно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
Заочный тур
задача
Номер	21 [10-11 кл]