ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66963
УсловиеУчастники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки $S$. Таракан $A$ бежит вдвое медленнее, чем $B$, и втрое медленнее, чем $C$. Точки $X$, $Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX=XY=YC$. Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника $ZAB$.РешениеПусть $U$, $V$ – такие точки на прямой $AB$, что $UA=AB=BV$. Тогда прямые $US$ и $CV$ проходят через $Z$, а параллельные им прямые, проходящие через $A$ и $B$ соответственно, пересекаются в центре тяжести $M$ треугольника $ABZ$. Поскольку $UA=AS$, $VB=BC$, получаем, что $\angle AUS=\angle ASU=\angle MAB=\angle MBA$ и $\angle AMB=\angle UAS=\angle ASC=2\angle ASB=\angle AOB$. Следовательно, $M$ совпадает с $O$. ОтветЦентр $O$ окружности, по которой бегут тараканы.ЗамечанияПриведенное решение не меняется в случае пересекающихся отрезков $AX$ и $BY$.Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |