Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66963
Темы:    [ ГМТ (прочее) ]
[ Задачи на движение ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки S. Таракан A бежит вдвое медленнее, чем B, и втрое медленнее, чем C. Точки X, Y на отрезке SC таковы, что SX=XY=YC. Прямые AX и BY пересекаются в точке Z. Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника ZAB.

Решение

Пусть U, V – такие точки на прямой AB, что UA=AB=BV. Тогда прямые US и CV проходят через Z, а параллельные им прямые, проходящие через A и B соответственно, пересекаются в центре тяжести M треугольника ABZ. Поскольку UA=AS, VB=BC, получаем, что AUS=ASU=MAB=MBA и AMB=UAS=ASC=2ASB=AOB. Следовательно, M совпадает с O.


Ответ

Центр O окружности, по которой бегут тараканы.

Замечания

Приведенное решение не меняется в случае пересекающихся отрезков AX и BY.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .