Задача 66963

Темы:    [ ГМТ (прочее) ] [ Задачи на движение ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки $S$. Таракан $A$ бежит вдвое медленнее, чем $B$, и втрое медленнее, чем $C$. Точки $X$, $Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX=XY=YC$. Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника $ZAB$.

Решение

Пусть $U$, $V$ – такие точки на прямой $AB$, что $UA=AB=BV$. Тогда прямые $US$ и $CV$ проходят через $Z$, а параллельные им прямые, проходящие через $A$ и $B$ соответственно, пересекаются в центре тяжести $M$ треугольника $ABZ$. Поскольку $UA=AS$, $VB=BC$, получаем, что $\angle AUS=\angle ASU=\angle MAB=\angle MBA$ и $\angle AMB=\angle UAS=\angle ASC=2\angle ASB=\angle AOB$. Следовательно, $M$ совпадает с $O$.

Ответ

Центр $O$ окружности, по которой бегут тараканы.

Замечания

Приведенное решение не меняется в случае пересекающихся отрезков $AX$ и $BY$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3