Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.

   Решение

В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=BC=CD$, $\angle A = 70^\circ$ и $\angle B = 100^\circ$. Чему могут быть равны углы $C$ и $D$?

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=BC=CD$, $\angle A = 70^\circ$ и $\angle B = 100^\circ$. Чему могут быть равны углы $C$ и $D$?

Решение 1

Проведём отрезок $BE$ так, что точка $E$ лежит на $AD$, а угол $ABE$ равен $40^\circ$. Тогда $\angle AEB = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ$, следовательно, треугольник $ABE$ равнобедренный, $AB = BE$. Рассмотрим треугольник $BCE$: $\angle CBE = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ$ и $BE = AB = BC$, значит, треугольник $BCE$ равносторонний, и $CE = BC = AB$. А это означает, что четырёхугольник $ABCE$ подходит под условие, и один из возможных ответов – угол $C$ такого четырёхугольника равен $60^\circ$, и оставшийся угол равен $\angle AEB + \angle BEC = 70^\circ + 60^\circ = 130^\circ$.

Заметим, что для любой точки $D'$ на отрезке $AE$ справедливо $CD' > CE = BC$ (так как $CD'$ – наибольшая сторона в тупоугольном треугольнике $CED'$). Пусть точка $D$ лежит на луче $AE$ за точкой $E$, $CD = BC = CE$. Тогда $\angle CED = 180^\circ - \angle AEB - \angle BEC = 180^\circ - 70^\circ - 60^\circ = 50^\circ$, и, поскольку $CE = CD$, $\angle CDE = \angle CED = 50^\circ$, а значит, $\angle ECD = 180^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 80^\circ$ и $\angle BCD = 60^\circ + 80^\circ = 140^\circ$.

Решение 2

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $100^\circ$, значит, $\angle BAC = \angle ACB = 40^\circ$, и тогда $\angle CAD = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ$. Отметим середину $M$ отрезка $AC$ и основание $P$ перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AD$. Тогда в прямоугольном треугольнике $ACP$ против угла в $30^\circ$ лежит катет $CP$, значит, $CP = \frac{1}{2} AC = CM$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $BCM$ и $DCP$ равны по катету и гипотенузе, значит, $\angle CDP = \angle MBC = 50^\circ$, т.е. в зависимости от того, лежит точка $P$ внутри отрезка $AD$ или снаружи, либо угол $ADC$, либо смежный с ним равен $50^\circ$. Соответственно, в первом случае $\angle ADC = 50^\circ$ и $\angle BCD = 140^\circ$, а во втором случае $\angle AD' C = 130^\circ$ и $\angle BCD' = 60^\circ$.

Источники и прецеденты использования