Задача 67002

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Лопатников А.А.

Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)

Решение

Введём на плоскости декартовы координаты $(x;y)$ и рассмотрим всевозможные параболы c уравнениями вида $y=ax^2+\operatorname{ln} a$, где $a$ – произвольное положительное число. Среди этих парабол нет одинаковых, так как коэффициенты при $x^2$ различны. (Если совместить вершины двух парабол, а также их оси с учётом направления, то парабола, у которой $a$ больше, лежит между «рогами» другой.)

Зафиксируем произвольное $x$, и пусть $a$ пробегает положительную полуось. Тогда $y=ax^2+ \operatorname{ln} a$ является непрерывной функцией от $a$. Поскольку $x^2\ge 0$, величина $ax^2$ не убывает с ростом $a$. Функция $\operatorname{ln} a$ строго возрастает. Поэтому $y$ строго возрастает по $a$ как сумма неубывающей и строго возрастающей функций. При $a\to +\infty$ имеем $y\to +\infty$, а при $a\to 0$ имеем $y\to -\infty$. Значит, каждое значение $y$ при данном $x$ появится ровно один раз. Поэтому любая точка плоскости принадлежит ровно одной параболе.

Ответ

Да.

Замечания

Вместо $\operatorname{ln} a$ можно взять любую непрерывную строго возрастающую функцию от $a$, которая отображает положительную полуось на всю вещественную ось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Дата	2018/19
Номер	40
тур
Тур	устный тур
задача
Номер	3