ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67018
Тема:    [ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У каждого из девяти натуральных чисел $n, 2n, 3n,\ldots,9n$ выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном $n$ среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?

Решение

Например, подходит $n = 25$. Для этого значения $n$ получим числа $25$, $50$, $75$, $100$, $125$, $150$, $175$, $200$, $225.$ Каждое из них начинается на одну из четырёх цифр $1$, $2$, $5$, $7$.

Ответ

Да, может.

Замечания

Можно доказать, что меньше четырёх различных цифр получиться не могло. Ровно четыре различные цифры получается для натуральных чисел из интервалов вида $$ [25{\underbrace{0\ldots 0}_{k-1}}, 2{\underbrace{9\ldots9}_{k}}\mkern1mu] \quad\text{и}\quad [3{\underbrace{3\ldots 3}_{k-1}}4, 3{\underbrace{9\ldots9}_{k}}\mkern1mu], $$ где $k$ – произвольное натуральное число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 85
Год 2022
класс
Класс 9
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .