Задача 67018

Тема:    [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Толпыго А.К.

У каждого из девяти натуральных чисел $n, 2n, 3n,\ldots,9n$ выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном $n$ среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?

Решение

Например, подходит $n = 25$. Для этого значения $n$ получим числа $25$, $50$, $75$, $100$, $125$, $150$, $175$, $200$, $225.$ Каждое из них начинается на одну из четырёх цифр $1$, $2$, $5$, $7$.

Ответ

Да, может.

Замечания

Можно доказать, что меньше четырёх различных цифр получиться не могло. Ровно четыре различные цифры получается для натуральных чисел из интервалов вида $$[25{\underbrace{0\ldots 0}_{k-1}}, 2{\underbrace{9\ldots9}_{k}}\mkern1mu] \quad\text{и}\quad [3{\underbrace{3\ldots 3}_{k-1}}4, 3{\underbrace{9\ldots9}_{k}}\mkern1mu],$$ где $k$ – произвольное натуральное число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	85
Год	2022
класс
Класс	9
задача
Номер	1