|
|
 |
Условие
Для каждого из девяти натуральных чисел $n, 2n, 3n, ..., 9n$ выписали на доску первую слева цифру в его десятичной записи. При этом $n$ выбрали так, чтобы среди девяти выписанных цифр количество различных цифр было как можно меньше. Чему равно это количество?
Решение
Пример. При $n$ = 34 получаем первые цифры 3, 6, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3; при $n$ = 25 – цифры 2, 5, 7, 1, 1, 1, 1, 2, 2.
Оценка. Поделим $n$ на такую степень десятки, чтобы для полученного числа $m$ (не обязательно целого) выполнялись неравенства 1 ≤ $m$ < 10, и решим задачу для числа $m$ (первые цифры не изменятся).
Среди чисел $km$ есть несколько чисел, меньших 10, и несколько тех, что не меньше 10. Назовем местом перескока то наименьшее $k$, для которого $km$ ≥ 10. Из неравенств 1 ≤ $m$ < 10 следует, что все первые цифры до перескока разные, тогда как первые цифры после перескока могут совпадать, но все они идут подряд: 1, 2, 3 и т.д. Разберем все варианты.
Если 1 ≤ $m$ < 2,5, имеется по меньшей мере 4 числа до перескока, и все они имеют разные первые цифры.
Если 2,5 ≤ $m < \frac{10}{3}$, имеется, как минимум, три разные цифры до перескока (причем они не меньше 2), а также цифра 1 (после перескока).
Если $\frac{10}{3}$ ≤ $m$ < 4, имеется не менее двух цифр до перескока (причем они больше 2), а также цифры 1 и 2 после перескока.
Наконец, если $m$ ≥ 4, имеются, во всяком случае цифры 1, 2, 3 после перескока и ещё одна цифра (не меньше 4) до перескока.
Ответ
4.
Замечания
7 баллов
