ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67019
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямоугольники $ABCD$ и $DEFG$ расположены так, что точка $D$ лежит на отрезке $BF$, а точки $B$, $C$, $E$, $F$ лежат на одной окружности (см. рисунок). Докажите, что $\angle ACE = \angle CEG$.


Решение

Так как точки $B$, $C$, $E$, $F$ лежат на одной окружности, то $$\angle ACE = \angle BCE - \angle ACB = (180^\circ - \angle BFE) - \angle ACB = 180^\circ - \angle DFE - \angle ACB.$$ Аналогично, $$\angle CEG = \angle CEF - \angle FEG = (180^\circ - \angle CBF) - \angle FEG = 180^\circ - \angle CBD - \angle FEG.$$

Поскольку $ABCD$ и $DEFG$ – прямоугольники, то $\angle ACB = \angle CBD$ и $\angle DFE = \angle FEG$. Тогда выражения в левых частях равенств выше равны, поэтому $\angle ACE = \angle CEG$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 85
Год 2022
класс
Класс 9
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .