Задача 67020
|
|
 |
Условие
Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число $t>1$ (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в $t$ раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет $100$ предметов. Если вместо этого он увеличит количество наклеек в $t$ раз, не меняя количества монет, то у него будет $101$ предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.Решение
Обозначим через $m$ количество монет, а через $n$ – количество наклеек. Тогда условие можно переписать в виде системы уравнений $$ \begin{cases} mt+n=100, \\ m+nt=101. \end{cases} $$ Вычтем первое уравнение из второго: $$ 1=101-100=(m+nt) - (mt+n) = (n-m)(t-1).$$ Следовательно, $t=1+\frac{1}{n-m}$. Теперь сложим два изначальных уравнения: $$ 201=101+100=(mt+n) + (m+nt) = (m+n)(t+1).$$ Следовательно, $t=\frac{201}{m+n}-1$. Введём обозначения $a=n-m$, $b=n+m$. Отметим, что $a>0$, поскольку $n>m$. Приравняем два выражения для $t$: $$ 1+\frac{1}{n-m} = \frac{201}{m+n}-1 \ \Leftrightarrow \ 1+\frac{1}{a}=\frac{201}{b}-1 \ \Leftrightarrow \ \frac{2a+1}{a}=\frac{201}{b}.$$ Заметим, что числа $2a+1$ и $a$ взаимно просты, поэтому дробь $\frac{2a+1}{a}$ несократима. Значит, $201$ делится на $2a+1$. У числа $201=3\cdot 67$ всего четыре делителя: $1$, $3$, $67$ и $201$. Так как $2a+1>1$, нужно разобрать три случая.1) $2a+1=3$. Тогда $a=1$ и $\frac{201}{b}=\frac{3}{1}$. Значит, $b=67$, откуда $$ m=\frac{1}{2}(b-a)=33, \quad n=\frac{1}{2}(a+b)=34.$$ Также $t=2$. Несложно проверить, что этот случай подходит.
2) $2a+1=67$. Тогда $a=33$ и $\frac{201}{b}=\frac{67}{33}$. Значит, $b=99$, откуда $$ m=\frac{1}{2}(b-a)=33, \quad n=\frac{1}{2}(a+b)=66.$$ Также $t=\frac{34}{33}$. Несложно проверить, что этот случай подходит.
3) $2a+1=201$. Тогда $a=100$ и $\frac{201}{b}=\frac{201}{100}$. Значит, $b=100$, откуда
$$ m=\frac{1}{2}(b-a)=0, \quad n=\frac{1}{2}(a+b)=100.$$
Этот случай не подходит, так как должна быть хотя бы одна монета.
