Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67020
Темы:    [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число t>1 (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в t раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет 100 предметов. Если вместо этого он увеличит количество наклеек в t раз, не меняя количества монет, то у него будет 101 предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.

Решение

Обозначим через m количество монет, а через n – количество наклеек. Тогда условие можно переписать в виде системы уравнений {mt+n=100,m+nt=101. Вычтем первое уравнение из второго: 1=101100=(m+nt)(mt+n)=(nm)(t1). Следовательно, t=1+1nm. Теперь сложим два изначальных уравнения: 201=101+100=(mt+n)+(m+nt)=(m+n)(t+1). Следовательно, t=201m+n1. Введём обозначения a=nm, b=n+m. Отметим, что a>0, поскольку n>m. Приравняем два выражения для t: 1+1nm=201m+n1  1+1a=201b1  2a+1a=201b. Заметим, что числа 2a+1 и a взаимно просты, поэтому дробь 2a+1a несократима. Значит, 201 делится на 2a+1. У числа 201=367 всего четыре делителя: 1, 3, 67 и 201. Так как 2a+1>1, нужно разобрать три случая.

1) 2a+1=3. Тогда a=1 и 201b=31. Значит, b=67, откуда m=12(ba)=33,n=12(a+b)=34. Также t=2. Несложно проверить, что этот случай подходит.

2) 2a+1=67. Тогда a=33 и 201b=6733. Значит, b=99, откуда m=12(ba)=33,n=12(a+b)=66. Также t=3433. Несложно проверить, что этот случай подходит.

3) 2a+1=201. Тогда a=100 и 201b=201100. Значит, b=100, откуда m=12(ba)=0,n=12(a+b)=100. Этот случай не подходит, так как должна быть хотя бы одна монета.

Ответ

34 или 66 наклеек.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 85
Год 2022
класс
Класс 9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .