|
|
 |
Условие
Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число t>1 (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в t раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет 100 предметов. Если вместо этого он увеличит количество наклеек в t раз, не меняя количества монет, то у него будет 101 предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.
Решение
Обозначим через m количество монет, а через n – количество наклеек. Тогда условие можно переписать в виде системы уравнений {mt+n=100,m+nt=101. Вычтем первое уравнение из второго: 1=101−100=(m+nt)−(mt+n)=(n−m)(t−1). Следовательно, t=1+1n−m. Теперь сложим два изначальных уравнения: 201=101+100=(mt+n)+(m+nt)=(m+n)(t+1). Следовательно, t=201m+n−1. Введём обозначения a=n−m, b=n+m. Отметим, что a>0, поскольку n>m. Приравняем два выражения для t: 1+1n−m=201m+n−1 ⇔ 1+1a=201b−1 ⇔ 2a+1a=201b. Заметим, что числа 2a+1 и a взаимно просты, поэтому дробь 2a+1a несократима. Значит, 201 делится на 2a+1. У числа 201=3⋅67 всего четыре делителя: 1, 3, 67 и 201. Так как 2a+1>1, нужно разобрать три случая.
1) 2a+1=3. Тогда a=1 и 201b=31. Значит, b=67, откуда m=12(b−a)=33,n=12(a+b)=34. Также t=2. Несложно проверить, что этот случай подходит.
2) 2a+1=67. Тогда a=33 и 201b=6733. Значит, b=99, откуда m=12(b−a)=33,n=12(a+b)=66. Также t=3433. Несложно проверить, что этот случай подходит.
3) 2a+1=201. Тогда a=100 и 201b=201100. Значит, b=100, откуда
m=12(b−a)=0,n=12(a+b)=100.
Этот случай не подходит, так как должна быть хотя бы одна монета.
Ответ
34 или 66 наклеек.
