|
|
 |
Условие
Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной не более $14a$?Решение
Пусть корабль находится в некоторой точке $O$. Рассмотрим правильный октаэдр $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, описанный возле шара радиуса $a$ с центром в точке $O$. Докажем, что путь $O\rightarrow A_1\rightarrow A_2 \rightarrow A_3 \rightarrow A_4 \rightarrow A_5 \rightarrow A_6$ заведомо позволит достигнуть граничной плоскости. Предположим противное. Но тогда вершины октаэдра, а значит, и сам октаэдр (выпуклая оболочка его вершин) лежат строго внутри полупространства. Поэтому вписанный шар октаэдра, радиус которого равен $a$, тоже лежит строго внутри полупространства. Получаем противоречие, так как по условию расстояние до граничной плоскости полупространства равно $a$.
Покажем теперь, что длина пути $O\rightarrow A_1\rightarrow A_2 \rightarrow A_3 \rightarrow A_4 \rightarrow A_5 \rightarrow A_6$ меньше $14a$. Пусть $OA_1=OA_2=OA_3=x$, $OH$ – высота пирамиды $OA_1A_2A_3$. Запишем ее объём двумя способами: $$V=\frac16 x^3=\frac13\cdot OH\cdot S_{A_1A_2A_3} = \frac 13 \cdot a\cdot\sqrt3\cdot\frac{(x\sqrt2)^2}4.$$ Отсюда получаем, что $x=a\sqrt3$, а длина ребра октаэдра равна $a\sqrt6$. Поэтому длина пути равна $(\sqrt3+5\sqrt6)a < 14a$, так как $\sqrt2 < 43/30$.
Замечания
Существует много других способов. Также можно придумать пример, в котором длина пути меньше $13a$. Для этого в исходном решении заменим участок пути $A_2 \rightarrow A_3 \rightarrow A_4 \rightarrow A_5$ на приведённый на рисунке ниже (половина стороны квадрата $ \rightarrow$ полуокружность $ \rightarrow$ половина стороны квадрата). При этом общая длина пути сократится на $\big(2-\frac{\pi}{2}\big)\cdot a\sqrt6$ и будет чуть меньше $13a$. Этот пример подходит, так как выпуклая оболочка точек пути всё ещё содержит вписанный в октаэдр шар радиуса $a$, поскольку этот шар касается образующей конуса с вершиной $A_1$ и основанием, которым является вписанная окружность $\omega$ квадрата $A_2A_3A_4A_5$.
Можно улучшить оценку примерно до $12{,}75a$, если в плоскости квадрата $A_2A_3A_4A_5$ рассмотреть правильный шестиугольник $ABCDEF$, описанный возле той же самой окружности $\omega$. Путь будет следующим: по отрезку $OA_1$, по прямой до вершины шестиугольника $A$, далее по касательной до точки касания с $\omega$, далее по дуге окружности $\omega$, далее по касательной к $\omega$ до точки $F$, далее по отрезку $FA_6$. Моделирование на компьютере позволяет ещё немного улучшить эту конструкцию, если менять расстояние от точек $A_1$ и $A_6$ до плоскости окружности $\omega$ и путь в этой плоскости так, чтобы объединение двух соответствующих конусов содержало шар с центром в точке $O$ радиуса $a$. Однако улучшение получается незначительным. Если у кого-нибудь из читателей получится существенно улучшить оценку сверху или получить хорошую оценку снизу, просьба писать автору задачи по адресу mmo2022kosmos(at)mail.ru.
