Задача 67036
|
|
 |
Условие
В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.Решение
Пусть в равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AB>CD$ проведена диагональ $AC$, так что первый жук ползает по циклу $A\to C \to D\to A$, второй – по циклу $A \to B \to C \to A$.Рассмотрим моменты времени, в которые первый жук оказывается в точке $A$. За время обхода первым жуком полного цикла из $A$ снова в $A$ второй жук сдвигается по своему циклу на $AB-CD$ в одну и ту же сторону. Поскольку $$AB-CD < BC+AC-CD=AD+AC-CD < AC+CD+AC-CD=2AC,$$ при таких сдвигах в один из рассматриваемых моментов времени второй жук окажется на расстоянии меньше $2AC$ до точки $A$ по ходу своего движения, а значит, встретится с первым жуком на диагонали $AC$.
