Задача 67036

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бородин П.А.

В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.

Решение

Пусть в равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AB>CD$ проведена диагональ $AC$, так что первый жук ползает по циклу $A\to C \to D\to A$, второй – по циклу $A \to B \to C \to A$.

Рассмотрим моменты времени, в которые первый жук оказывается в точке $A$. За время обхода первым жуком полного цикла из $A$ снова в $A$ второй жук сдвигается по своему циклу на $AB-CD$ в одну и ту же сторону. Поскольку $$AB-CD < BC+AC-CD=AD+AC-CD < AC+CD+AC-CD=2AC,$$ при таких сдвигах в один из рассматриваемых моментов времени второй жук окажется на расстоянии меньше $2AC$ до точки $A$ по ходу своего движения, а значит, встретится с первым жуком на диагонали $AC$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	85
Год	2022
класс
Класс	11
задача
Номер	4