|
|
 |
Условие
В турнире участвовали 20 шахматистов. Каждый играл с каждым один раз белыми и один раз чёрными. Обязательно ли найдутся такие два шахматиста, что один из них выиграл не меньше партий белыми и не меньше партий чёрными, чем другой?
Решение
Будем говорить, что шахматист $A$ не слабее шахматиста $B$, если $A$ выиграл и белыми, и чёрными не меньше партий, чем $B$. Предположим, что такой пары нет.
Если у каких-то двух игроков одинаковое число побед белыми, один из них не слабее другого. То же верно, если у каких-то двух игроков одинаковое число побед чёрными. Значит, число побед белыми у всех разное, и число побед чёрными – тоже. Отсюда следует, что количества побед белыми у 20 игроков равны числам 19, 18, ..., 2, 1 и 0, и то же для количеств побед чёрными. Пусть 19 партий белыми выиграл $A$, а 19 партий чёрными выиграл другой шахматист $B$. Но кто тогда
выиграл игру $A$ с $B$, где $A$ играл белыми, а $B$ – чёрными? Значит, это невозможно, то есть 19 партий белыми и чёрными выиграл один и тот же шахматист. Но тогда он не слабее всех остальных. Противоречие.
Ответ
Обязательно.
Замечания
5 баллов
