Условие
Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями, но один – медленно, другой – быстро. Одновременно каждый отпустил вперёд от себя собаку (собаки бежали с одной и той же постоянной скоростью). Каждая собака добежала до другого хозяина и возвратилась к своему. Чья собака вернулась раньше – быстрого хозяина или медленного?
Решение 1
Пусть $L$ – расстояние между людьми в момент, когда они отпустили собак, $v$ и $V$ – скорости людей ($V > v$), $u$ – скорость собак. Собака медленного хозяина добежит до быстрого за время $\frac{L}{u+V}$ и за это время убежит от своего хозяина на расстояние $\frac{L(u-v)}{u+V}$, а вернётся к нему за время $\frac{L(u-v)}{(u+V) (u+v)}$. Общее время её «путешествия» равно
$$\frac{L}{u+V} + \frac{L(u-v)}{(u+V) (u+v)} = \frac{2Lu}{(u+V) (u+v)}.$$
Тот же результат, аналогично, получится и для другой собаки.
Решение 2
На рисунке на горизонтальной оси откладывается расстояние вдоль дорожки, а на вертикальной – время. Точки $A$ и $B$ соответствуют положениям хозяев (и их собак) в начальный момент, люди движутся в пространстве-времени по лучам $AC$ и $BC$, а собаки – по ломаным $APR$ и $BQS$.
Поскольку скорости собак одинаковы, $AP \parallel QS$ и $BQ \parallel PR$. По теореме Фалеса $CQ : CA = CS : CP$ и $CR : CQ = CP : CB$, откуда $CR : CA = CS : CB$. Следовательно, $RS \parallel AB$, что и означает одновременность событий $R$ и $S$.
Ответ
собаки вернулись одновременно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Номер |
43 |
|
Дата |
2021/22 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
1 |
