|
|
 |
Условие
Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями, но один – медленно, другой – быстро. Одновременно каждый отпустил вперёд от себя собаку (собаки бежали с одной и той же постоянной скоростью). Каждая собака добежала до другого хозяина и возвратилась к своему. Чья собака вернулась раньше – быстрого хозяина или медленного?
Решение 1
Пусть $L$ – расстояние между людьми в момент, когда они отпустили собак, $v$ и $V > v$ – скорости людей, $u$ – скорость собак. Собака медленного хозяина добежит до быстрого за время $\frac{L}{u+V}$ и за это время убежит от своего хозяина на расстояние $\frac{L(u-v)}{u+V}$, а вернётся к нему за время $\frac{L(u-v)}{(u+V)(u+v)}$. Общее время её "путешествия" равно $\frac{L}{u+V} + \frac{L(u-v)}{(u+V)(u+v)} = \frac{2Lu}{(u+V)(u+v)}.$ Тот же результат аналогично получится и для другой собаки.
Решение 2
На рисунке на горизонтальной оси откладывается расстояние вдоль дорожки, а на вертикальной – время. Точки $A$ и $B$ соответствуют положениям хозяев (и их собак) в начальный момент, люди движутся в пространстве-времени по лучам $AC$ и $BC$, а собаки – по ломаным $APR$ и $BQS$. Поскольку скорости собак одинаковы, $AP$ || $QS$ и $BQ$ || $PR$. По теореме Фалеса
$CQ : CA = CS : CP$ и $CR : CQ = CP : CB$, откуда $CR : CA = CS : CB$. Следовательно, $RS$ || $AB$, что и означает одновременность событий $R$ и $S$.
Ответ
Собаки вернулись одновременно.
Замечания
1. Знатоки могут сразу сослаться на вырожденный случай теоремы Паппа.
2. 3 балла.
