Задача 67062

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Рубин А.

Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями, но один – медленно, другой – быстро. Одновременно каждый отпустил вперёд от себя собаку (собаки бежали с одной и той же постоянной скоростью). Каждая собака добежала до другого хозяина и возвратилась к своему. Чья собака вернулась раньше – быстрого хозяина или медленного?

Решение 1

Пусть $L$ – расстояние между людьми в момент, когда они отпустили собак, $v$ и  $V > v$  – скорости людей, $u$ – скорость собак. Собака медленного хозяина добежит до быстрого за время  $\frac{L}{u+V}$  и за это время убежит от своего хозяина на расстояние  $\frac{L(u-v)}{u+V}$,  а вернётся к нему за время  $\frac{L(u-v)}{(u+V)(u+v)}$.  Общее время её "путешествия" равно  $\frac{L}{u+V} + \frac{L(u-v)}{(u+V)(u+v)} = \frac{2Lu}{(u+V)(u+v)}.$  Тот же результат аналогично получится и для другой собаки.

Решение 2

На рисунке на горизонтальной оси откладывается расстояние вдоль дорожки, а на вертикальной – время. Точки $A$ и $B$ соответствуют положениям хозяев (и их собак) в начальный момент, люди движутся в пространстве-времени по лучам $AC$ и $BC$, а собаки – по ломаным $APR$ и $BQS$. Поскольку скорости собак одинаковы,  $AP$ || $QS$  и  $BQ$ || $PR$.  По теореме Фалеса
$CQ : CA = CS : CP$  и  $CR : CQ = CP : CB$,  откуда  $CR : CA = CS : CB$.  Следовательно,  $RS$ || $AB$,  что и означает одновременность событий $R$ и $S$.

Ответ

Собаки вернулись одновременно.

Замечания

1. Знатоки могут сразу сослаться на вырожденный случай теоремы Паппа.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	43
Дата	2021/22
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1