ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67062
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Рубин А.

Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями, но один – медленно, другой – быстро. Одновременно каждый отпустил вперёд от себя собаку (собаки бежали с одной и той же постоянной скоростью). Каждая собака добежала до другого хозяина и возвратилась к своему. Чья собака вернулась раньше – быстрого хозяина или медленного?

Решение 1

Пусть $L$ – расстояние между людьми в момент, когда они отпустили собак, $v$ и $V$ – скорости людей ($V > v$), $u$ – скорость собак. Собака медленного хозяина добежит до быстрого за время $\frac{L}{u+V}$ и за это время убежит от своего хозяина на расстояние $\frac{L(u-v)}{u+V}$, а вернётся к нему за время $\frac{L(u-v)}{(u+V) (u+v)}$. Общее время её «путешествия» равно $$\frac{L}{u+V} + \frac{L(u-v)}{(u+V) (u+v)} = \frac{2Lu}{(u+V) (u+v)}.$$ Тот же результат, аналогично, получится и для другой собаки.

Решение 2

На рисунке на горизонтальной оси откладывается расстояние вдоль дорожки, а на вертикальной – время. Точки $A$ и $B$ соответствуют положениям хозяев (и их собак) в начальный момент, люди движутся в пространстве-времени по лучам $AC$ и $BC$, а собаки – по ломаным $APR$ и $BQS$.

Поскольку скорости собак одинаковы, $AP \parallel QS$ и $BQ \parallel PR$. По теореме Фалеса $CQ : CA = CS : CP$ и $CR : CQ = CP : CB$, откуда $CR : CA = CS : CB$. Следовательно, $RS \parallel AB$, что и означает одновременность событий $R$ и $S$.

Ответ

собаки вернулись одновременно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 43
Дата 2021/22
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .