Задача 67075
|
|
 |
Условие
На диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ взята точка $P$. Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $APD$, $M$ – середина $AD$ и $N$ – середина $CD$.
Докажите, что прямые $PN$ и $MH$ взаимно перпендикулярны.
Решение
При одном из поворотов на 90° вокруг центра $O$ квадрата точка $A$ перейдёт в точку $D$, точка $D$ – в точку $C$, а точка $M$ – в точку $N$. Так как $OPH$ – равнобедренный прямоугольный треугольник, $H$ перейдёт в $P$. Значит, отрезок $MH$ перейдёт в $NP$, поэтому они перпендикулярны.
Замечания
1. Если треугольник $APD$ тупоугольный, точка $H$ лежит вне него, что никак не сказывается на решении.
2. 5 баллов.
