Условие
Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Точки $O_1$ и $O_2$ – центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_1IO_2$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырехугольника.
Решение
Заметим, что $O_1O_2$ – серединный перпендикуляр к отрезку $DI$, $\angle IO_1O_2=\angle IAD$, $\angle IO_2O_1=\angle ICD$. Поэтому для центра $O$ окружности $IO_1O_2$ выполнено $\angle OIO_1=90^{\circ}-\angle ICD$. С другой стороны, $\angle O_1IA=90^{\circ}-\angle IDA$ и
$$\angle BIO_1=180^{\circ}-\angle IAB-\angle IBA+90^{\circ}-\angle IDA=90^{\circ}+\angle ICD.$$
Следовательно, точки $B$, $I$, $O$ лежат на одной прямой – биссектрисе угла $B$.
Источники и прецеденты использования
