Задача 67090

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$; аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведенная в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$.

Решение

Пусть $MN$ – касательная. Тогда $\angle NPD=90^{\circ}-\angle MPD_1=90^{\circ}-\angle PA_1A=\angle PAD=\angle PBC$, что влечет утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
Заочный тур
задача
Номер	5 [8 кл]