ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67090
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$; аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведенная в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$.

Решение

Пусть $MN$ – касательная. Тогда $\angle NPD=90^{\circ}-\angle MPD_1=90^{\circ}-\angle PA_1A=\angle PAD=\angle PBC$, что влечет утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2022
Заочный тур
задача
Номер 5 [8 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .