ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 67093
УсловиеНа сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P, Q, R соответственно так, что AP=PR, CQ=QR. Точка H – ортоцентр треугольника PQR, точка O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что OH∥AC.
РешениеТак как ∠ARP=∠BAC, ∠CRQ=∠BCA, то ∠PRQ=∠ABC и ∠PHQ=180∘−∠ABC, т.е. точки B, P, Q, H лежат на одной окружности. Кроме того, проекции точек P, Q на AC являются серединами отрезков AR, CR, поэтому расстояние между ними равно половине AC. Пусть M, N – середины сторон AB, BC соответственно. Так как проекции отрезков PM и QN на AC равны, то PMQN=cos∠ACBcos∠BAC=OMON. Следовательно, треугольники OPM и OQN подобны, т.е. ∠POQ=∠MON=∠PHQ. Таким образом, точка O также лежит на окружности BPHQ, поэтому ∠BOH=∠BQH=90∘+∠BCA−∠BAC, что равносильно утверждению задачи. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке