Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67093
Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P, Q, R соответственно так, что AP=PR, CQ=QR. Точка H – ортоцентр треугольника PQR, точка O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что OHAC.

Решение

Так как ARP=BAC, CRQ=BCA, то PRQ=ABC и PHQ=180ABC, т.е. точки B, P, Q, H лежат на одной окружности. Кроме того, проекции точек P, Q на AC являются серединами отрезков AR, CR, поэтому расстояние между ними равно половине AC. Пусть M, N – середины сторон AB, BC соответственно. Так как проекции отрезков PM и QN на AC равны, то PMQN=cosACBcosBAC=OMON. Следовательно, треугольники OPM и OQN подобны, т.е. POQ=MON=PHQ. Таким образом, точка O также лежит на окружности BPHQ, поэтому BOH=BQH=90+BCABAC, что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2022
Заочный тур
задача
Номер 8 [8-9 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .