Условие
На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$, $Q$, $R$ соответственно так, что $AP=PR$, $CQ=QR$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PQR$, точка $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $OH \parallel AC$.
Решение
Так как $\angle ARP=\angle BAC$, $\angle CRQ=\angle BCA$, то $\angle PRQ=\angle ABC$ и $\angle PHQ=180^{\circ}-\angle ABC$, т.е. точки $B$, $P$, $Q$, $H$ лежат на одной окружности. Кроме того, проекции точек $P$, $Q$ на $AC$ являются серединами отрезков $AR$, $CR$, поэтому расстояние между ними равно половине $AC$. Пусть $M$, $N$ – середины сторон $AB$, $BC$ соответственно. Так как проекции отрезков $PM$ и $QN$ на $AC$ равны, то $\frac{PM}{QN}=\frac{\cos\angle ACB}{\cos\angle BAC}=\frac{OM}{ON}$. Следовательно, треугольники $OPM$ и $OQN$ подобны, т.е. $\angle POQ=\angle MON=\angle PHQ$. Таким образом, точка $O$ также лежит на окружности $BPHQ$, поэтому $\angle BOH=\angle BQH=90^{\circ}+\angle BCA-\angle BAC$, что равносильно утверждению задачи.
Источники и прецеденты использования
