Условие
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_1$ с центром $O$. Окружность $\omega_2$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$.
Решение
Пусть $M$, $N$ – середины дуг $BC$ и $ABC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Известно, что точка $K$ касания описанной и полувписанной окружностей лежит на прямой $NI$. Кроме того, точка $I$ лежит на прямой $AM$ (см. рис.). Значит, треугольники $IMN$ и $IKA$ подобны, а медиана $OI$ треугольника $IMN$ совпадает с симедианой треугольника $IKA$.
Источники и прецеденты использования
