Задача 67095

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Фадин М.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_1$ с центром $O$. Окружность $\omega_2$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$.

Решение

Пусть $M$, $N$ – середины дуг $BC$ и $ABC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Известно, что точка $K$ касания описанной и полувписанной окружностей лежит на прямой $NI$. Кроме того, точка $I$ лежит на прямой $AM$ (см. рис.). Значит, треугольники $IMN$ и $IKA$ подобны, а медиана $OI$ треугольника $IMN$ совпадает с симедианой треугольника $IKA$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
Заочный тур
задача
Номер	10 [8-9 кл]