Задача 67100

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Михайлов И.

Прямая $\ell$, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, касается его вписанной окружности и пересекает его описанную окружность в точках $D$ и $E$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $AI^2 = AD\cdot AE$.

Решение

Так как $DE\parallel BC$, то $\smile BD=\smile CE$, т.е. $\angle BAD=\angle CAE$ и $\angle DAI=\angle EAI$. Далее, заметим, что касательные из $D$ и $E$ к вписанной окружности пересекаются в точке $F$, лежащей на описанной окружности, поэтому прямые $DI$ и $EI$ являются биссектрисами углов $FDE$ и $FED$.

Пусть $A'$, $D'$, $E'$ – вторые точки пересечения прямых $AI$, $DI$, $EI$ с описанной окружностью. Так как эти точки – середины дуг $DFE$, $EF$, $DE$ соответственно, то $\smile D'A'=\smile DE'$. Следовательно, $\angle AID=\angle AEI$, т.е. треугольники $AID$ и $AEI$ подобны и $AI:AD=AE:AI$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
Заочный тур
задача
Номер	15 [9-11 кл]