ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67110
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAD = 2 \angle BCD$ и $AB = AD$. Пусть $P$ – такая точка, что $ABCP$ – параллелограмм. Докажите, что $CP=DP$.

Решение

Из условия следует, что точка $A$ симметрична относительно $BD$ центру $O$ описанной около треугольника $BCD$ окружности, т.е. $ABOD$ – ромб. Тогда отрезок $OD$ равен и параллелен отрезку $AB$, а значит, и отрезку $CP$. Следовательно, $CODP$ – параллелограмм, а поскольку $OC=OD$, этот параллелограмм является ромбом, т.е. $CP=DP$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2022
класс
Класс 8
задача
Номер 8.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .