Задача 67110

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Кухарчук И.

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAD = 2 \angle BCD$ и $AB = AD$. Пусть $P$ – такая точка, что $ABCP$ – параллелограмм. Докажите, что $CP=DP$.

Решение

Из условия следует, что точка $A$ симметрична относительно $BD$ центру $O$ описанной около треугольника $BCD$ окружности, т.е. $ABOD$ – ромб. Тогда отрезок $OD$ равен и параллелен отрезку $AB$, а значит, и отрезку $CP$. Следовательно, $CODP$ – параллелограмм, а поскольку $OC=OD$, этот параллелограмм является ромбом, т.е. $CP=DP$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1