Задача 67114

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ соответственно. Пусть $A'$ – точка, симметричная $A_{1}$ относительно прямой $B_{1}C_{1}$; аналогично определяется точка $C'$. Прямые $A'C_{1}$ и $C'A_{1}$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что $BD\parallel AC$.

Решение

Из условия следует, что $\angle A'C_1B_1=\angle A_1C_1B_1= \frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)$, следовательно, $\angle DC_1A_1=\angle C$. Аналогично получаем, что $\angle DA_1C_1=\angle A$. Тогда $\angle C_1DA_1=\angle B$. Значит, четырехугольник $A_1BDC_1$ вписанный и $\angle DBA=\angle DA_1C_1=\angle BAC$, откуда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5