Задача 67115

Темы:    [ Построения (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Кулаков А., Бремзен А.

Даны две окружности, пересекающиеся в точках $A$, $B$, и точка $O$, лежащая вне их. Циркулем и линейкой постройте такой луч с началом $O$, пересекающий первую окружность в точке $C$, а вторую – в точке $D$, чтобы отношение $OC:OD$ было максимальным.

Решение

Рассмотрим гомотетию с центром $O$ и коэффициентом $OC:OD$. Она переводит вторую окружность $\omega_2$ в некоторую окружность $\omega$, проходящую через $C$. Если отношение $OC:OD$ максимально, то никакая окружность, гомотетичная $\omega$ с центром $O$ и коэффициентом, большим 1, не пересекает первую окружность $\omega_1$. Следовательно, $\omega$ касается $\omega_1$ в точке $C$, т.е. касательные к $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $C$ и $D$ соответственно параллельны и прямая $CD$ проходит через центр $I$ внутренней гомотетии этих окружностей. Отсюда получаем искомое построение: точка $C$ является дальней от $O$ точкой пересечения $\omega_1$ и прямой $OI$, а $D$ – ближней к $O$ точкой пересечения $OI$ с $\omega_2$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	8
задача
Номер	8.6