Задача 67126

Темы:    [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Tran Quang Hung

Даны два одинаково ориентированных квадрата $A_1A_2A_3A_4$ и $B_1B_2B_3B_4$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$ пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$, $A_1B_1$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Докажите, что $PR\perp QS$.

Решение

Пусть $O$ – центр поворотной гомотетии, переводящей один квадрат в другой, $C_i$ – середины отрезков $A_iB_i$ ($i=1,2,3,4$). Тогда $C_1C_2C_3C_4$ – квадрат и $\angle OC_1P=\angle OC_2Q=\angle OC_3R=\angle OC_4S$, т.е. четырехугольники $OC_1PC_2$, $OC_2QC_3$, $OC_3RC_4$, $OC_4SC_1$ – вписанные. Пусть первая и третья окружности вторично пересекаются в точке $U$, а вторая и четвертая в точке $V$. Тогда по теореме о поворотной гомотетии $PR$ проходит через $U$, $QS$ – через $V$, а угол между прямыми $PR$ и $QS$ равен углу $UOV$. Но, очевидно, что $OU\parallel C_1C_2$ и $OV\parallel C_2C_3$, значит, $\angle UOV=\pi/2$.

Замечания

Утверждение задачи остается верным при замене квадратов подобными, одинаково ориентированными прямоугольниками.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1