Задача 67130

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Марданов А., Струихина К.

Из точки $A$ к окружности $\Omega$ проведены касательные $AB$ и $AC$. На отрезке $BC$ отмечена середина $M$ и произвольная точка $P$. Прямая $AP$ пересекает окружность $\Omega$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $MDP$ и $MPE$ пересекаются на средней линии треугольника $ABC$.

Решение

Пусть $K$ – середина $AP$. Так как $K$ – центр описанной окружности треугольника $APM$, то $KP=KM$, т.е. $K$ лежит на линии центров окружностей $MDP$ и $MPE$. При этом, поскольку точки $A$, $P$, $D$ и $E$ образуют гармоническую четверку, то $KP^2=KD\cdot KE$. Значит, $K$ – центр внешней гомотетии этих окружностей.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5