Задача 67132
|
|
 |
Условие
На плоскости провели несколько окружностей и отметили все точки их пересечения или касания. Может ли оказаться, что на каждой окружности лежат ровно четыре отмеченных точки, а через каждую отмеченную точку проходят ровно четыре окружности?Решение
Возьмем квадрат $ABCD$ с центром $O$, его описанную и вписанную окружности, а также четыре окружности с диаметрами $OA$, $OB$, $OC$, $OD$.
Сделав инверсию с центром в произвольной точке плоскости, не лежащей на этих шести окружностях и прямых $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, получим десять окружностей, пересекающихся или касающихся в десяти точках – образах середин сторон квадрата, точек $A$, $B$, $C$, $D$, $O$ и центре инверсии. Легко видеть, что условие задачи выполнено.
Ответ
Да.Замечания
Для любого $k=2,3,4,5$ можно построить конфигурацию из окружностей и всех их общих точек, в которой каждая окружность проходит ровно через $k$ точек и каждая точка принадлежит ровно $k$ окружностям. Существуют ли такие конфигурации для $k>5$ – неизвестно.См. также задачу 67125.
