|
|
 |
Условие
На плоскости провели несколько окружностей и отметили все точки их пересечения или касания. Может ли оказаться, что на каждой окружности лежат ровно пять отмеченных точек, а через каждую отмеченную точку проходят ровно пять окружностей?Решение
Для каждой вершины правильного икосаэдра построим окружность, проходящую через пять соседних с ней вершин. Очевидно, что все эти окружности лежат на описанной около икосаэдра сфере, через каждую вершину проходят ровно пять окружностей и любые две окружности либо не имеют общих точек, либо пересекаются по двум вершинам икосаэдра. Поэтому сделав стереографическую проекцию из любой точки, не лежащей на построенных окружностях, получим искомую конфигурацию.
Тот же пример можно построить несколько иначе. Отметим 12 точек: вершины правильного пятиугольника $ABCDE$, его центр $O$, все пять точек пересечения диагоналей, и бесконечно удаленную точку. Если $P$ – точка пересечения $AC$ и $BD$, то $\angle APB=72^{\circ}=\angle AOB$, поэтому точки $A$, $B$, $O$ и $P$ лежат на одной окружности. Проведем 12 линий: диагонали пятиугольника $ABCDE$, его описанную окружность, окружность через точки пересечения диагоналей, и окружности $ABO$, $BCO$, $CDO$, $DEO$, $EAO$ (см. рис.). После инверсии с центром вне проведенных линий получаем пример к задаче.
Ответ
Да.Замечания
Для любого $k=2,3,4,5$ можно построить конфигурацию из окружностей и всех их общих точек, в которой каждая окружность проходит ровно через $k$ точек и каждая точка принадлежит ровно $k$ окружностям. Существуют ли такие конфигурации для $k>5$ – неизвестно. См. также задачу 67132.
Источники и прецеденты использования
