Задача 67141

Темы:    [ Конус (прочее) ] [ Площадь сечения ] [ Площадь треугольника (прочее) ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Фольклор

У прямого кругового конуса длина образующей равна 5, а диаметр равен 8.

Найдите наибольшую площадь треугольного сечения, которая может получиться при пересечении конуса плоскостью.

Решение

Две из трёх сторон треугольного сечения конуса — это образующие, а треугольник с двумя сторонами 5 имеет максимальную площадь, когда угол между этими сторонами равен $90^\circ$. Действительно, если сложить из двух таких треугольников ромб, то легко понять, что его площадь максимальна, когда его угол прямой — см. рисунок:

Осталось доказать, что у нашего конуса есть сечение с прямым углом. Диаметр основания равен 8, поэтому в нём можно найти хорду длины $5\sqrt{2}$ ($\sqrt{2} < 1,5$, поэтому $5\sqrt{2} < 7,5 < 8$). Проведём сечение через эту хорду и вершину конуса — получится треугольник со сторонами $5$, $5$, $5\sqrt{2}$. Так как $5^2+5^2 = (5\sqrt{2})^2$, этот треугольник будет прямоугольным (по теореме, обратной теореме Пифагора), а его площадь равна $\frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 5 = 12,5$.

Ответ

12,5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2022
задача
Номер	8